Question

已知函數f（x）=alnx-bx²圖象上一點P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在[

1

e

，e]內有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數的底數）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中點為C（x₀，0），求證：g（x）在x₀處的導數g′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需要利用導數的幾何意義即可獲得兩個方程解得兩個未知數；
（Ⅱ）先要利用導數研究好函數h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，的單調性，結合單調性及在[

1

e

，e]內有兩個不等實根通過數形結合易知m滿足的關系從而問題獲得解答；
（Ⅲ）用反證法現將問題轉化為有關方程根的形式，在通過研究函數的單調性進而通過最值性找到矛盾即可獲得解答．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a

x

-2bx，f′(2)=

a

2

-4b，f（2）=aln2-4b．
∴

a

2

-4b=-3，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則h/(x)=

2

x

-2x=

2(1-x2)

x

，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在[

1

e

， e]內，
當x∈[

1

e

，1)時，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函數；
當x∈[1，e]時，h′（x）＜0，
∴h（x）是減函數，
則方程h（x）=0在[

1

e

，e]內有兩個不等實根的充要條件是：

h( 1 e )≤0 h(1)＞0 h(e) ≤ 0.

即1＜m≤2+

1

e2

．
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x²-kx，g/(x)=

2

x

-2x-k．
假設結論不成立，則有：

2lnx1-x12-kx1=0 ① 2lnx2-x22-kx2=0 ② x1+x2=2x0 ③ 2 x0 -2x0-k=0 ④

①-②，得2ln

x1

x2

-(x12-x22)-k(x1-x2)=0．
∴k=2

ln x1 x2

x1-x2

-2x0．
由④得k=

2

x0

-2x0，
∴

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

．⑤
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
則u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函數，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，與假設矛盾．
∴g'（x₀）≠0．

點評：本題考查的是函數與方程以及導數知識的綜合應用問題．在解答的過程當中充分體現了函數與方程的思想、數形結合的思想、問題轉化的思想以及反證法．值得同學們體會反思．