【題目】已知函數
.
（1）若
對
恒成立，求
的取值范圍；
（2）證明：不等式
對于正整數
恒成立，其中
為自然對數的底數.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】試題分析：（1）第（1）問，方法一，構造函數
，再分析f(x)的最大值和零的關系得到a的取值范圍.方法二，分離參數得到
恒成立，即a大于F(x)的最大值. (2)第（2）問，先要把證明的不等式轉化，再由第（1）問，
恒成立，得到
恒成立，把數列的通項放縮，對數列求和，再化簡證明不等式.
試題解析：
（1）法一：記，
則
，
，
①當
時，
∵
，∴
，∴
在
上單減，
又
，∴
，即
在上單減，
此時，
，即
,所以a≥1.
②當
時，
考慮
時，
，∴在
上單增，
又
，∴
，即在上單増，
,不滿足題意.
綜上所述，.
法二：當時，
等價于，
，記
，則
，
∴
在上單減，∴
，
∴
，即
在上單減，
，故.
（2）由（1）知：取
，當
時，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
即
對于恒成立，
由此，
，
，
于是
，
故
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有下列說法
①互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件
②演繹推理是從特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段論”
③殘差圖的帶狀區域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高
④若
，則事件
與
互斥且對立
⑤甲乙兩艘輪船都要在某個泊位停靠4小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機到達，則這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率為
．
其中正確的說法是______（寫出全部正確說法的序號）．
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【題目】已知橢圓
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），且過點（2
，）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線l：y=kx（k＞0）與橢圓在第一象限的交點為M，過點F且斜率為-1的直線與l交于點N，若
sin∠FON（O為坐標原點），求k的值．
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【題目】以下四個關于圓錐曲線的命題,
①雙曲線
與橢圓
有相同的焦點；
②在平面內，設
為兩個定點，
為動點，且
，其中常數
為正實數，則動點
的軌跡為橢圓；
③方程
的兩根可以分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④過雙曲線
的右焦點
作直線
交雙曲線于兩點，若
，則這樣的直線有且僅有3條.
其中真命題的個數為（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
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【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為直角梯形，
，
，平面
底面，
為
的中點，
是棱
上的點，
，
，
．
（1）求證：平面
平面
；
（2）若為棱的中點，求異面直線
與
所成角的余弦值；
（3）若二面角
大小為
，求
的長．
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【題目】如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由一個長方形和拋物線構成．為保證安全，要求行使車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5米．若行車道總寬度AB為6米，則車輛通過隧道的限制高度是______米（精確到0.1米）
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【題目】已知函數
的最大值為
，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為
，且
的圖像關于點
對稱，則下列判斷正確的是（）
A. 函數在
上單調遞增
B. 函數的圖像關于直線
對稱
C. 當
時，函數的最小值為
D. 要得到函數的圖像，只需要
將的圖像向右平移
個單位
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【題目】從裝有
個紅球和個黒球的口袋內任取個球，則互為對立事件是（ ）
A. 至少有一個黒球與都是黒球B. 至少有一個黒球與都是紅球
C. 至少有一個黒球與至少有
個紅球D. 恰有個黒球與恰有個黒球
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【題目】某養殖的水產品在臨近收獲時，工人隨機從水中捕撈
只，其質量分別在
（單位：克），經統計分布直方圖如圖所示.
（1）求這組數據的眾數；
（2）現按分層抽樣從質量為
的水產品種隨機抽取
只，在從這只中隨機抽取
只，求這只水產品恰有
只在
內的概率；
（3）某經銷商來收購水產品時，該養殖場現還有水產品共計約
只要出售，經銷商提出如下兩種方案：
方案A：所有水產品以
元/只收購；
方案B：對于質量低于
克的水產品以
元/只收購，不低于克的以
元/只收購，
通過計算確定養殖場選擇哪種方案獲利更多？
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