Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足且a₁，a₂+5，a₃成等差數列．
（1）求a₁的值；
（2）若數列{b_n}滿足，求證數列{b_n}是等比數列．
（3）求滿足的最小正整數n．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列遞推式，及a₁，a₂+5，a₃成等差數列，即可求a₁的值；
（2）再寫一式，兩式相減，即可證得結論；
（3）確定數列的通項，利用，即可求最小正整數n．
解答：（1）解：∵
∴2a₁=a₂-3①，2（a₁+a₂）=a₃-7②
∵a₁，a₂+5，a₃成等差數列
∴2（a₂+5）=a₁+a₃，③
∴由①②③可得a₁=1；
（2）證明：∵，
∴（n≥2）
兩式相減可得
∴
∵數列{b_n}滿足，
∴===3（n≥2）
∵2a₁=a₂-3，
∴a₂=5
∴b₁=3，b₂=9
∴
∴數列{b_n}是一個以3為首項，公比為3的等比數列．…（9分）
（3）解：由（2）知，即
∴數列{a_n}的通項公式是a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（11分）
∴，即，
所以n≥4，所以n的最小正整數為4．…（15分）
點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的證明，考查學生的計算能力，屬于中檔題．