Question

已知函數f（x）=

x，x∈P -x，x∈M

其中集合P，M是非空數集．設．f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}
（I）若 P=[l，3]，M=（-∞，-2]，求f（P）∪f（M）；
（II）若P∩M=φ，a函數f（x）是定義在R上的單調遞增函數，求集合P，M
（III）判斷命題“若P∪M≠R，則．f（P）∪f（M）≠R”的真假，并說明理由．

Answer 1

（I）∵P=[1，3]，M=（-∞，-2）
∴f（P）=[1，3]，f（M）=[2，+∞）
∴f（P）∪f（M）=[1，+∞）（3分）
（II）因為函數f（x）是R上的增函數，且f（0）=0
所以當x＜0時，f（x）＜0，所以（-∞，0）⊆P
同理可知，（0，+∞）⊆P
因為P∩M=∅
所以P={x|x≠0}．M={0}（6分）
（III）原命題為真命題，理由如下：（8分）
假設存在P，M且P∪M≠R，則有f（P）∪f（M）=R
因為P∪M≠R
若0∉P∪M
則0∉f（P）∪f（M）
∴f（P）∪f（M）≠R與f（P）∪f（M）=R矛盾
若存在x₀∉P∪M且則x₀∉P∪M且x₀≠0，則x₀∉f（P），-x₀∉f（M）
因為f（p）∪f（M）=R
所以-x₀∈f（P），x₀∈f（M）
所以-x₀∈P，-x₀∈M
由函數的定義可得，-x₀=x₀即x₀=0與x₀≠0矛盾
所以命題“若P∪M≠R，則f（P）∪f（M）≠R為真命題（14分）