Question

如圖，已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），設M為圓C與x軸負半軸的交點，過M作圓C的弦MN，并使它的中點P恰好落在y軸上．
（Ⅰ）當r=2時，求滿足條件的P點的坐標；
（Ⅱ）當r∈（1，+∞）時，求點N的軌跡G的方程；
（Ⅲ）過點P（0，2）的直線l與（Ⅱ）中軌跡G相交于兩個不同的點E、F，若，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，r=2時，可求得M點的坐標為（-1，0），設N（x，y）聯立方程可解得MN的中點P坐標；
（2）設N（x，y）由已知得，先利用圓方程求得M點的坐標，再設P（0，b），得：r=b²+1．利用圓的方程與x+1-r=0消去r，即可得出點N的軌跡方程；
（3）設直線l的方程為y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用向量的數量積公式即可求得k值范圍，從而解決問題．
解答：解：（1）：由已知得，r=2時，可求得M點的坐標為（-1，0），
設N（x，y）則解得N（1，±2）．
所以MN的中點P坐標為（0，±1）．
（2）：設N（x，y）由已知得，在圓方程中令y=0，求得M點的坐標為（1-r，0）．
設P（0，b），則由k_CPk_mp=-1（或用勾股定理）得：r=b²+1．
則，消去r，
又r＞1，所以點N的軌跡方程為y²=4x（x≠0）．
（3）設直線l的方程為y=kx+2，M（x₁，x₂），N（x₂，y₂），
消去y得k²x²+（4k-4）x+4=0，因為直線l與拋物線y²=4x（x＞0）相交于兩個不同的點M，N，
所以△=-32k+16＞0，所以，
又因為，所以（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＞0，
所以（k²+1）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5＞0，得k²+12k＞0，
所以k＞0或k＜-12，
綜上可得．
點評：本題是中檔題，考查動點的軌跡方程的求法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．