Question

設數列{a_n}的前n項和S_n，若對于任意的n∈N^*，都有S_n＝2a_n－3n．

(1)求數列{a_n}的首項與遞推關系式a_n+1＝f(a_n)；

(2)先閱讀下面的定理，若數列有遞推關系：a_n+1＝Aa_n＋B，其中A、B為常數，且A≠1，B≠0，則數列{a_n－}是以A為公比的等比數列，請你在第(1)題的基礎上應用本定理，求數列{a_n}的通項公式；

(3)求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令n＝1，a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3． 　　又Sn+1＝2an+1－3(n＋1)，Sn＝2an－3n． 　　兩式相減得an+1＝2an+1－2an－3， 　　∴an+1＝2an＋3． 　　(2)按照定理A＝2，B＝3，則＝－3， 　　∴{an＋3}是公比為2的等比數列，其首項為a1＋3＝6． 　　∴an＋3＝6×2n－1．∴an＝6×2n－1－3． 　　(3)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 　　＝(6×20－3)＋(6×21－3)＋(6×22－3)＋…＋(6×2n－1－3) 　　＝(6×20)＋(6×21)＋(6×22)＋…＋(6×2n－1)－3n 　　＝6×(20＋21＋22＋…＋2n－1)－3n 　　＝6×－3n＝6×2n－3n－6． 　　思路解析：(1)要建立an+1和an的關系，可由an+1＝Sn+1－Sn得出； 　　(2)給出了一個定理，需同學們自己閱讀，考查了觀察問題、研究問題的能力； 　　(3)可用拆項法求和．

提示：

解決此類問題需綜合數列的有關知識，并要有較強的創新能力，同學們要加強這方面的練習．