Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，Q分別是BB₁，BC₁中點，點P在線段C₁M上，且

C1P

=x

C1M

，
（1）用向量

AB

，

AC

，

AA1

表示向量

AQ

；
（2）用向量

AB

，

AC

，

AA1

表示向量

AP

；
（3）若AP與平面A₁BC交于N，

AN

=y

AP

，求出y關于x的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）利用向量的平行四邊形法則，用向量

AC

，

AA1

表示向量

AC1

，再利用

AQ

=

1

2

(

AB

+

AC1

)，即可得到用向量

AB

，

AC

，

AA1

表示向量

AQ

；
（2）利用向量的三角形法則，可得向量

AB

，

AC

，

AA1

表示向量

AP

；
（3）利用空間向量的基本定理即可得出．

解答：解：（1）∵

AA1

+

AC

=

AC1

，

AQ

=

1

2

(

AB

+

AC1

)，
∴

AQ

=

1

2

(

AC

+

AB

+

AA1

)．
（2）∵

C1P

=x

C1M

，
又

C1M

=

C1B1

+

B1M

=

CB

-

1

2

AA1

=

AB

-

AC

-

1

2

AA1

，
∴

AP

=

AC1

+

C1P

=

AA1

+

AC

+x

C1M

=

AA1

+

AC

+x(

AB

-

AC

-

1

2

AA1

)
=(1-

1

2

x)

AA1

+(1-x)

AC

+x

AB

．
（3）由空間向量的基本定理可設

AN

=k

AB

+m

AA1

+n

AC

，
∵四點A₁、B、C、N共面，∴k+m+n=1．
∵

AN

=y

AP

，
∴y[(1-

1

2

x)

AA1

+(1-x)

AC

+x

AB

]=k

AB

+m

AA1

+n

AC

，
∴

y(1- 1 2 x)=m y(1-x)=n yx=k

，利用k+m+n=1，
可得yx+y(1-x)+y(1-

1

2

x)=1，
化為y=

2

4-x

(0≤x≤1)即為所求的關系式．

點評：本題綜合考查了平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、空間向量的基本定理、三點共面的性質定理等基礎知識與基本技能，屬于難題．