Question

設f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（ ）
A．（-3，0）∪（3，+∞）
B．（-3，0）∪（0，3）
C．（-∞，-3）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

【答案】分析：先根據f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進而可得到f（x）g（x）在（-∞，0）上遞增，結合函數f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函數，最后根據g（3）=0可求得答案．
解答：解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0
故f（x）g（x）在（-∞，0）上遞增，
又∵f（x），g（x）分別是定義R上的奇函數和偶函數，
∴f（x）g（x）為奇函數，關于原點對稱，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函數．
∵f（3）g（3）=0，∴f（-3）g（-3）=0
所以f（x）g（x）＜0的解集為：x＜-3或0＜x＜3
故選D．
點評：本題考查了函數的奇偶性的應用，以及導數的運算，不等式的解法等，屬于中檔題．