Question

1．已知a，b，c分別是△ABC內角A，B，C的對邊sin²B=2sinAsinC，a=b
（1）求cosA
（2）若a=$\sqrt{2}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由sin²B=2sinAsinC，根據正弦定理可得：b²=2ac，a=b，利用余弦定理可求cosA的值．
（2）a=$\sqrt{2}$，根據（1）可得b，c的值和sinA的值，根據${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$可得結論．

解答 解：（1）由sin²B=2sinAsinC，根據正弦定理可得：b²=2ac，
又∵a=b，
可得：b=2c
則$cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{c}^{2}}{4{c}^{2}}=\frac{1}{4}$．
（2）由（1）知：b=2c，而a=b=$\sqrt{2}$，
根據$cosA=\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{4}$
解得：c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵cosA=$\frac{1}{4}$，則sinA=$\sqrt{1-sinA}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，
則${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

點評 本題考查三角形的正弦定理和余弦定理的運用，考查運算能力，屬于基礎題．