Question

已知，橢圓C以雙曲線的焦點為頂點，以雙曲線的頂點為焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于M、N兩點（M、N不是左右頂點），且以線段MN為直徑的圓過點A（2，0），求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由雙曲線求出相應的實半軸，虛半軸和半焦距，再利用橢圓和雙曲線的關系求解．
（2）由以線段MN為直徑的圓過點A（2，0），則線段MN對應的圓周角為直角，有，再由M，N是直線與橢圓的交點求解．
解答：解：根據題意：雙曲線的焦點坐標為（-2，0），（2，0），頂點坐標為（-1，0），（1，0）
∵橢圓C以雙曲線的焦點為頂點，以雙曲線的頂點為焦點．
∴橢圓的頂點為（-2，0），（2，0），焦點坐標為2，（-1，0），（1，0）
∴a=2，b=3
∴橢圓的方程是：
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 聯立y=kx+m，
整理得：（3+4k²）x²+8mkx+4m²-12=0
△=64m²k²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0
解得：m²＜4k²+3 ①
由韋達定理：x₁+x₂=-8mk/（3+4k²）．x₁x₂=（4m₂-12）/（3+4k²）
所以y₁y₂=k²x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=（3m²-12k²）/（3+4k²）
因為以MV為直徑的圓過橢圓C的右頂點A（2，0）
所以
∴7m²+16mk+4k²=0
解得：m₁=-2k/7，m₂=-2k
經檢驗，當m=-2k/7或m=-2k時，①式均成立
而當m=-2k時，直線l：y=k（x-2），過右頂點，不合題意所以m=-2k/7，
∴直線l：y=k（x-2/7）．過定點（2/7，0）
點評：本題主要考查圓錐曲線間的關系及性質的應用，同時考查直線與橢圓的位置關系在解決平面圖形中的應用．