Question

下列命題
①命題“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要條件．
③“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三個角成等差數列的充要條件．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形．
其中的有

 

．

Answer 1

分析：①命題“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件．由事件的定義判斷；
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要條件，由不等式的性質判斷．
③“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假，寫出其否命題判斷即可．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三個角成等差數列的充要條件，由內角和及等差數列的性質判斷．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形，由角的互余關系判斷．

解答：解：①命題“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件，由于對立事件一定互斥，互斥事件不一定對立，知“事件A與B互斥”是“事件A與B對立”的必要不充分條件、此命題正確．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要條件，由“am²＜bm²”可以得出“a＜b”成立，反之，當m=0時，不能得出“am²＜bm²”故am²＜bm²”是“a＜b”的充分非必要條件，此命題不成立．
③“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假，由于其否命題是“不是矩形的四邊形，其兩對角線不相等”，研究等腰梯形知，它的對角線相等，故此命題正確．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三個角成等差數列的充要條件，研究知，當角A是60°時也可得出三角成等差數列，故命題不正確．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形，當A是銳角時，由于B是銳角，故有sinA=sin（

π

2

-B），此時有A=

π

2

-B，即A，B兩角的和是直角，此時是直角三角形，若A是鈍角，則有sin（π-A）=sin（

π

2

-B），可得A-B=

π

2

，如A=91°，B=1°時，亦有sinA=cosB，故三角形不一定是直角三角形．
綜上知，①③正確
故答案為：①③．

點評：本題考查不等關系與不等式，解三角形，事件的分類等，解題的關系是理解命題相關的知識，且能用這些知識結合充分條件與必要條件定義進行判斷．