Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=2n2+2n，數列{b_n}是各項都為正數的等比數列，且滿足a₁=b₁+3，b₃（a₂-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求證：T_n＜16
（Ⅲ）記c_n=（a_n-5）•b_n，是否存在正整數M，使得對一切n∈N^*，都有c_n≤M恒成立？若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用Sn=2n2+2n，再寫一式，兩式相減，可求數列{a_n}的通項公式；利用a₁=b₁+3，b₃（a₂-a₁）=b₁，可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法求T_n，即可證得結論；
（III）確定c3=

7

4

是數列{c_n}的最大項，即可確定正整數M的值．

解答：（Ⅰ）解：∵數列{a_n}的前n項和，Sn=2n2+2n，
∴an=Sn-Sn-1=4n(n∈N*，n≥2)
又a₁=S₁=4，適合上式
∴數列{a_n}的通項公式為an=4n(n∈N*)…（2分）
∵數列{b_n}是正項等比數列，b₁=a₁-3=1，a₂-a₁=4，
∴b3=

1

4

，∴公比q=

1

2

，
則數列{b_n}的通項公式為bn=

1

2n-1

（n∈N^*）．     …（4分）
（Ⅱ）證明：∵a_n=4n，

b

n

=

1

2n-1

∴Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=4[1+2•

1

2

+3•

1

22

…+n•

1

2n-1

]
∴

1

2

•Tn=4[1•

1

2

+2•

1

22

+…++(n-1)•

1

2n-1

+n•

1

2n

]…（6分）

1

2

•Tn=4[(1+

1

2

+

1

22

+…++

1

2n-1

)-n•

1

2n

]=4•

1- 1 2n

1- 1 2

-4n•

1

2n

∴Tn═16-(16+8n)•

1

2n

＜16…（10分）
（Ⅲ）解：∵cn=an•bn=

4n-5

2n-1

，
∴cn+1-cn=

4n-1

2n

-

4n-5

2n-1

=

9-4n

2n

，…（11分）
當n≤2時，c_n+1-c_n＞0，∴c₃＞c₂＞c₁；
當n≥3時，c_n+1＜c_n，即c₃＞c₄＞c₅＞…．
∴c3=

7

4

是數列{c_n}的最大項，…（13分）
故存在最小的正整數M=2，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立． …（14分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．