Question

已知函數f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2時有極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行，則函數f（x）的單調減區間為（ ）
A．（-∞，0）
B．（0，2）
C．（2，+∞）
D．（-∞，+∞）

Answer 1

【答案】分析：求出f′（x），根據函數在x=2時取極值得到f′（2）等于0，代入得到①；又切線與已知直線平行得到兩直線的斜率相等，求出已知直線的斜率等于切線的斜率，根據切線斜率等于f′（1）列出②，把①②聯立即可求出a與b的值，把a與b的值代入到f′（x）中并令導函數小于0，列出關于x的不等式，求出x的解集即為函數的單調遞減區間．
解答：解：f′（x）=3ax²+2bx，因為函數在x=2時有極值，所以f′（2）=12a+4b=0即3a+b=0①；
又直線3x+y=0的斜率為-3，則切線的斜率k=f′（1）=3a+2b=-3②，
聯立①②解得a=1，b=-3，
令f′（x）=3x²-6x＜0即3x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2．
故選B
點評：此題要求學生會利用導數研究函數的單調性，會利用導數求曲線上過某點切線的斜率，是一道中檔題．