Question

已知直線l₁：x-y+C₁=0，C1=

2

，l₂：x-y+C₂=0，l₃：x-y+C₃=0，…，l_n：x-y+C_n=0（其中C₁＜C₂＜C₃＜…＜C_n），當(dāng)n≥2時(shí)，直線l_n-1與l_n間的距離為n．
（1）求C_n；
（2）求直線l_n-1：x-y+C_n-1=0與直線l_n：x-y+C_n=0及x軸、y軸圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）原點(diǎn)O到l₁的距離d₁=1，由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到ln的距離：d_n =1+2+…+n，據(jù)Cn=

2

d_n，可求C_n 的值．
（2）由這組平行線的斜率等于1知，圍成的圖形是個(gè)等腰直角三角形，設(shè)直線l_n：x-y+C_n=0交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，S_△OMN=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²，把C_n 的值代入，同理求直線l_n-1：x-y+C_n-1=0與x軸、y軸圍成圖形的面積，從而可求得結(jié)果．

解答：解：（1）由已知條件可得l₁：x-y+2=0，則原點(diǎn)O到l₁的距離d₁=1，
由平行直線間的距離可得原點(diǎn)O到l_n的距離d_n為：1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
∵C_n=

2

d_n，∴C_n=

2 •n(n+1)

2

．     …（6分）
（2）設(shè)直線ln：x-y+Cn=0交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，
則△OMN的面積S_△OMN=S_n=

1

2

|OM|•|ON|=

1

2

（C_n）²=

n2(n+1)2

4

，
同理直線l_n-1：x-y+C_n-1=0與x軸、y軸圍成圖形的面積Sn-1=

(n-1)2n2

4

，故所求面積為n³．…..（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行線間的距離公式及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．