Question

已知函數f（x）=x⁴-2ax²．
（I）求證：方程f（x）=1有實根；
（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是單調遞減的，求實數a的取值范圍；
（III）當x∈[0，1]時，關于x的不等式|f′（x）|＞1的解集為空集，求所有滿足條件的實數a的值．

Answer 1

分析：（I）要證x⁴-2ax²=1的實根，設t=x²，也就是證明方程t²-2at=1有非負實數根．而△=4a²+4＞0，故可設t²-2at-1=0的兩根為t₁，t₂．利用根與系數的關系即得；
（II）由題設知對任意的x∈[0，1]時，h′（x）=f′（x）-1=4x³-4ax-1≤0恒成立，對x分類討論：x=0時顯然成立；
對任意的0＜x≤1，a≥x²-

1

4x

結合函數的單調性即可求出a的取值范圍；
（III）由題設知，當x∈[0，1]時，|4x³-4ax|≤1恒成立，記F（x）=4x³-4ax，對a分類：若a≤0不滿足條件；若a＞0則F′（x）=12x²-4a=12（x-

a 3

）（x+

a 3

）從而求出滿足條件的實數a的值．

解答：解：（I）要證x⁴-2ax²=1的實根，
設t=x²，也就是證明方程t²-2at=1有非負實數根．
而△=4a²+4＞0，故可設t²-2at-1=0的兩根為t₁，t₂．
t₁t₂=-1，∴t₁，t₂一正一負，
∴方程有正根
∴方程f（x）=1有實根；
（II）由題設知對任意的x∈[0，1]時，
h′（x）=f′（x）-1=4x³-4ax-1≤0恒成立，
x=0時顯然成立；
對任意的0＜x≤1，a≥x²-

1

4x

，∴a≥（x²-

1

4x

）max
而g（x）=x²-

1

4x

在（0，1]上單調增，
∴a≥f（1）=

3

4

，
∴a的取值范圍為[

3

4

，+∞）．
（III）由題設知，當x∈[0，1]時，|4x³-4ax|≤1恒成立
記F（x）=4x³-4ax
若a≤0則F（1）=4-4a≥4，不滿足條件；
若a＞0則F′（x）=12x²-4a=12（x-

a 3

）（x+

a 3

）
①當

a 3

＜1即0＜a＜3時，F（x）在[0，

a 3

]上遞減，在[

a 3

，1]上遞增，
于是，|F（x）|max=max{-F（

a 3

），F（1）}=max{

8a

3

a 3

，4-4a}≤1
解之得：a=

3

4

②當

a 3

≥1即a≥3時，F（x）在[0，1]上遞減，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，與題意矛盾．
綜上所述：a=

3

4

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的性質、一元二次方程的根的分布與系數的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查方程思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．