Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，

AB

=

AD

，過A點的切線交CB的延長線于E點．求證：AB²=BE•CD．

Answer 1

分析：根據圓的切線，得到圓周角等于同弧所對的弦切角，根據圓內接四邊形的性質，得到一個內角等于不相鄰的內角，有兩個角相等，得到兩個三角形相似，得到對應邊成比例，把比例式轉化為等式得到結果．

解答：證明：連接AC，
∵EA切⊙O于A，
∴∠EAB=∠ACB．
∵

AB

=

AD

，
∴∠ACD=∠ACB，AB=AD．
于是∠EAB=∠ACD．
又四邊形ABCD內接于⊙O，
∴∠ABE=∠D．
∴△ABE∽△CDA．
于是

AB

CD

=

BE

DA

，即AB•DA=BE•CD．
∴AB²=BE•CD．

點評：本題考查同弧所對的圓周角等于弦切角，考查圓內接四邊形的性質，考查兩個三角形相似的判定和性質，是一個比較簡單的綜合題目．