Question

已知函數，其中a＞0．
（Ⅰ） 求函數f（x）的極小值點；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點A（m，f（m）），B（n，f（n））處的切線都與y軸垂直，問是否存在常數a，使函數y=f（x）在區間[m，n]上存在零點？如果存在，求a的值：如果不存在，請說明理由．
請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時用2B鉛筆在答題卡把所選題目的題號涂黑．

Answer 1

解：（Ⅰ）
令f'（x）=0，得到x₁=1，x₂=a．
（1）當a=1時，f（x）在定義域單調遞增，沒有極小值點．
（2）當a＞1時，x變化時．f′（x），f（x）的變化情況如表：

所以x=1是函數的極大值點，x=a是函數的極小值點；
（3）當0＜a＜1時，x變化時．f′（x），f（x）的變化情況如表：

所以x=1是函數的極小值點，x=a是函數的極大值點；
綜上所述．當0＜a＜1時，x=1是函數的極小值點；當a＞1時，x=a是函數的極小值點；
（II）若曲線y=f（x）在點A（m，f（m）），B（n，f（n））處的切線都與y軸垂直，則f′（m）=0，f′（n）=0，
由（I）的討論知，m=1，n=a或m=a，n=1，f（1）=--a，f（a）=--a+alna．
∴函數y=f（x）在區間[m，n]上存在零點，且單調，則有f（1）f（a）≤0，
即（--a）（--a+alna）≤0，
∴（+a-alna）≤0，故，
下面證明此不等式不成立．
令g（a）=，則g′（a）=-=，
于是當a∈（0，2），g′（a）＞0，a∈（2，+∞），g′（a）＜0，
所以，g（a）在（0，2）單調遞增，在[2，+∞）單調遞減，
所以函數在a=2取得最大值g（2）=ln2-2＜0．
所以，所以．
故不存在滿足要求的常數a．-------（12分）
分析：（I）先求出其導函數以及導數為0的根，通過比較兩根的大小找到函數的單調區間，進而求出f（x）的極小值；
（II）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在常數a，使函數y=f（x）在區間[m，n]上存在零點，再利用零點存在定理得出不等式：，下面利用 導數證明此不等式不成立，出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
點評：本題第一問考查利用導函數來研究函數的極值．在利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值．