Question

建造一個容積為8立方米，深為2米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價為每平方米100元，池底的造價為每平方米300元，（1）把總造價y（元）表示為底面一邊長x（米）的函數，并寫出x的定義域；（2）當x何值時，使總造價最低．

Answer 1

分析：（1）長方體蓄水池的容積為8立方米，深為2米，其底面積為4平方米；設底面一邊長為x米，則另一邊長為

4

x

米；因池壁的造價為每平方米100元，池壁的面積為2（2x+2•

4

x

）平方米，所以池壁的總造價為100•2（2x+2•

4

x

），池底的造價為每平方米300元，池底的面積為4平方米，所以池底的總造價為1200元，故蓄水池的總造價為：y=100•2（2x+2•

4

x

）+1200（其中x＞0）；
（2）由函數y=400（x+

4

x

）+1200，利用基本不等式可得函數y的最小值及對應的x的值．

解答：解：（1）長方體蓄水池的容積為8立方米，深為2米，因此其底面積為4平方米；
設底面一邊長為x米，則另一邊長為

4

x

米；
因池壁的造價為每平方米100元，池壁的面積為2（2x+2•

4

x

）平方米，因此池壁的總造價為100•2（2x+2•

4

x

）；
池底的造價為每平方米300元，池底的面積為4平方米，池底的總造價為1200元；
所以，蓄水池的總造價為：y=100•2（2x+2•

4

x

）+1200=400•（x+

4

x

）+1200（其中x＞0）．
（2）由函數y=400（x+

4

x

）+1200≥400×2

x • 4 x

+1200=1600+1200=2800，當且僅當x=

4

x

，即x=2時，函數y有最小值y_min=2800，此時總造價最低．

點評：本題考查了長方體模型的應用，也考查了基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的應用，屬于基礎題目．