Question

已知函數f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=f（x）+ax-6lnx，a∈R．
（1）當a=1時，判斷f（x）的單調性；
（2）若g（x）在其定義域內為增函數，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），當a=1時判斷導數f′（x）的符號即可；
（2）由g（x）在其定義域內為增函數，知對?x∈（0，+∞），g'（x）≥0成立，分離出參數a后轉化為求函數的最值即可．

解答：解：（1）由f(x)=lnx-

a

x

，得f(x)的定義域為(0，+∞)，f′(x)=

x+a

x2

，
當 a=1時，f′(x)=

x+1

x2

＞0(x＞0)，
f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（2）由已知得，g(x)=ax-

a

x

-5lnx，其定義域為（0，+∞），
g′(x)=a+

a

x2

-

5

x

=

ax2-5x+a

x2

．
因為g（x）在其定義域內為增函數，
所以?x∈（0，+∞），g'（x）≥0，即ax2-5x+a≥0，則a≥

5x

x2+1

．
而

5x

x2+1

=

5

x+ 1 x

≤

5

2

，當且僅當x=1時，等號成立，
所以a≥

5

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，屬中檔題，導數的符號決定函數的增減．