Question

設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，已知an+1=2Sn +2(n∈N*)
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）在a_n與a_n+1之間插人n個數，使這n+2個數組成公差為d_n的等差數列，求數列{

1

dn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）由an+1=2Sn +2(n∈N*)可得a_n=2s_n-1+2（n≥2），兩式相減可得a_n+1=3a_n（n≥2），結合已知等比數列的條件可得a₂=3a₁，可求a₁，從而可求通項
（II）等差數列的性質可知dn=

an+1-an

n+1

=

4×3n-1

n+1

，利用錯位相減可求數列的和

解答：解：（I）由an+1=2Sn +2(n∈N*)可得a_n=2s_n-1+2（n≥2）
兩式相減可得，a_n+1-a_n=2a_n
即a_n+1=3a_n（n≥2）
又∵a₂=2a₁+2，且數列{a_n}為等比數列
∴a₂=3a₁
則2a₁+2=3a₁
∴a₁=2
∴an=2•3n-1
（II）由（I）知，an=2•3n-1，an+1=2•3n
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n
∴dn=

an+1-an

n+1

=

4×3n-1

n+1

Tn=

2

4•30

+

3

4•31

+

4

4•32

+…+

n+1

4•3n-1

1

3

Tn=

2

4•31

+

3

4•32

+…+

n

4•3n-1

+

n+1

4•3n

兩式相減可得，

2

3

Tn=

2

4•30

+

1

4•3

+

1

4•32

+…+

1

4•3n-1

-

n+1

4•3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4•3n

=

5

8

-

2n+5

8•3n

Tn=

15

16

-

2n+5

16•3n-1

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式的應用及由數列的遞推公式求解通項，數列求和的錯位相減求和方法的應用是解答本題的關鍵