Question

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為F₁、F₂，點P是坐標平面內一點，且（O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標和△MAB面積的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），由；由得．所以c=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）動直線l的方程為，由得．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則．由此入手能求出當且僅當時，△MAB面積的最大值．
解答：解：（1）設P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
則由得；
由得，
即．
所以c=1…（2分）
又因為，所以a²=2，b²=1．…（3分）
因此所求橢圓的方程為．…（4分）
（2）動直線l的方程為，
由，
得．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則．…（6分）
假設在y上存在定點M（0，m），滿足題設，
則．
=
=
=
=．
由假設得對于任意的恒成立，
即，
解得m=1．
故在y軸上存在定點M（0，1），
使得以AB為直徑的圓恒過這個點…（10分）
這時，點M到AB的距離，
．

設2k²+1=t，
則，
得．
所以．
當且僅當時，上式等號成立．
因此，△MAB面積的最大值是．…（13分）
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．