Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且CD⊥面PAD，E 為側棱PD的中點．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）若直線AC與平面PCD所成的角為45°，求

AD

CD

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結BD交AC于O，連結EO，由已知得EO∥PB，由此能證明PB∥平面EAC．
（2）由已知得AE⊥PD，CD⊥AE，由此能證明AE⊥平面PCD．
（3）AE⊥平面PCD，直線AC與平面PCD所成的角為∠ACE，由此能求出

AD

CD

=

2

．

解答： （1）證明：連結BD交AC于O，連結EO，
∵O、E分別為BD、PD的中點，∴EO∥PB  …（2分）
∵EO?平面EAC，PB不包含于平面EAC，
∴PB∥平面EAC．…（4分）
（2）證明：正三角形PAD中，E為PD的中點，
∴AE⊥PD，…（8分）
∵CD⊥面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，PD?面PCD，CD?面PCD，
∴AE⊥平面PCD．…（10分）
（3）解：由（2）AE⊥平面PCD，
直線AC與平面PCD所成的角為∠ACE…（11分）
∴Rt△ACE中，∠ACE=45°，AC=

2

AE，
又正△PAD中，AE=

3

2

AD，
∴AC=

6

2

AD，又矩形ABCD中，AC=

AD2+CD2

=

6

2

AD，
解得CD=

2

2

AD，∴

AD

CD

=

2

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，考查兩線段長的比值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養．