Question

已知函數f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）若對任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，則m的取值范圍是

m≤-87

．

Answer 1

分析：求導函數，確定極值點，利用a的范圍，確定極大值點不在取值范圍內，而極小值點在取值范圍內，從而只要保證x=-2，x=

a

3

，x=2中的最小值，f（x））≤1就可以了．

解答：解：求導函數可得：f′（x）=3x²+2ax-a²，
令f′（x）=0，即（3x-a）（x+a）=0，所以x=-a或x=

a

3

∵a∈[3，6]，x∈[-2，2]，
令導數大于0可得x＜-a或x＞

a

3

，令導數小于0可得-a＜x＜

a

3

，又-a≤-3，

a

3

∈[1，2]
∴極大值點不在取值范圍內，而極小值點在取值范圍內．
∴要使不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只要保證x=-2與x=2時的函數值f（x））≤1就可以了． 
∵f（-2）=-8+4a+2a²+m，f（2）=8+4a-2a²+m，a∈[3，6]，
作差比較得f（-2）＞f（2）
∴只要f（-2）≤1即可
即：）=-8+4a+2a²+m≤1，m≤-2a²-4a+9
由a∈[3，6]得，-2a²-4a+9的最小值為-87
∴m≤-87

點評：本題是利用導數求最值問題，考查學生分析解決問題的能力，注意取值范圍是關鍵．