Question

已知斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C＝90°，側棱與底面所成的角為α，點B₁在底面上的射影D落在BC上．

(1)求證：AC⊥平面BB₁C₁C

(2)當α為何值時，AB₁⊥BC₁且D恰為BC中點？

(3)若，且AC＝BC＝AA₁時，求二面角C₁―AB―C的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵， 　　∴ 　　∴　　3分; 　　(2)∵，要使，由三垂線定理可知，只須　　5分 　　∴平行四邊形為菱形，此時，． 　　又∵，要使D為BC中點，只須，即△為正三角形， 　　∴　　7分 　　∵，且落在上，∴即為側棱與底面所成的角．故當時，，且使為中點　　8分; 　　(3)過作于，則．過作于，由三垂線定理，得 　　∴是所求二面角的平面角．設，在中，由，．在中，，　　a． 　　∴，故所求的二面角為．