Question

如圖，F為雙曲線C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點．已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|＝λ|OF|．

(1)寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式；

(2)當λ＝1時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|＝12，求此時的雙曲線方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵四邊形OFPM是平行四邊形， 　　∴|OF|＝|PM|＝c，作右準線交PM于H，則|PM|＝|PH|＋2×， 　　又e＝，e2－λe－2＝0． 　　(2)當λ＝1時，e＝2，c＝2a，b2＝3a2， 　　所以雙曲線方程為＝1， 　　設P(x0，y0)，則由|OF|＝|PM|，得x0＋＝c；x0＝a；y0＝a． 　　所以直線OP的斜率為， 　　則直線AB的方程為y＝(x－2a)， 　　代入雙曲線方程得4x2＋20ax－29a2＝0， 　　又|AB|＝12， 　　由|AB|＝得 　　12＝， 　　解得a2＝1，b2＝3，所以雙曲線為x2－＝1．