Question

已知：|

a

|=

2

，|

b

|=3，

a

和

b

的夾角為45°，求：
（1）當(dāng)向量

a

+λ

b

與λ

a

+

b

的夾角為鈍角時(shí)，λ的取值范圍；
（2）當(dāng)λ=-2時(shí)，向量

a

+λ

b

與λ

a

+

b

的夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中

a

+λ

b

與λ

a

+

b

b

的夾角為鈍角，知(

a

+λ

b

)•(λ

a

+

b

)＜0且

a

+λ

b

≠t(λ

a

+

b

)，(t＜0)，根據(jù)|

a

|=

2

，|

b

|=3，

a

和

b

的夾角為45°，可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的不等式，解不等式即可得到λ的取值范圍；
（2）求出當(dāng)λ=-2時(shí)，向量

a

+λ

b

與λ

a

+

b

的模及數(shù)量積，代入向量夾角公式，即可求出向量

a

+λ

b

與λ

a

+

b

的夾角的余弦值．

解答：解：（1）∵

a

+λ

b

與λ

a

+

b

的夾角為鈍角，知(

a

+λ

b

)•(λ

a

+

b

)＜0且

a

+λ

b

≠t(λ

a

+

b

)，(t＜0)
由(

a

+λ

b

)•(λ

a

+

b

)＜0得3λ²+11λ+3＜0
解得 

-11- 85

6

＜λ＜

-11+ 85

6

；
當(dāng)

a

+λ

b

=t(λ

a

+

b

)，(t＜0)時(shí)，由

a

與

b

不共線知

1=tλ λ=t

，解得λ=t=-1（1舍去）
所以λ的取值范圍是

-11- 85

6

＜λ＜-1或-1＜λ＜

-11+ 85

6

；
（2）當(dāng)λ=-2時(shí)|

a

+λ

b

|=|

a

-2

b

|=

( a -2 b )2

=

a 2+4 b 2-4 a • b

=

26

|λ

a

+

b

|=|-2

a

+

b

|=

(-2 a + b )2

=

4 a 2+ b 2-2 a b

=

5

（

a

+λ

b

）•（λ

a

+

b

）=（

a

-2

b

）•（-2

a

+

b

）=-2

a

²-2

b

²+5

a

b

=-7
所以  cosθ=

-7

26 5

=-

7

130

130

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的綜合應(yīng)用，其中（1）中易忽略向量

a

+λ

b

與λ

a

+

b

反向的情況，而錯(cuò)解為

-11- 85

6

＜λ＜

-11+ 85

6

．