Question

（理）設函數f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為常數）．
（1）當a=2時，討論函數f（x）的單調性；
（2）若a＞-2，且函數f（x）的最小值為2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab²恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）a=2時，，…（2分）
∴函數y=f（x）的單調增區間為[1，+∞），減區間為（-∞，1]． …（6分）
（2），…（8分）
∵a＞-2，∴，
當a≥2時，函數y=f（x）的最小值為f（1）=a-1=2，解得a=3符合題意； …（10分）
當-2＜a＜2時，函數y=f（x）的最小值為，無解；
綜上，a=3． …（12分）
（3）由（2）知，當a≥2時函數y=f（x）的最小值為f（1）=a-1，
所以a-1≥ab²（a≥2）恒成立，令g（a）=a（b²-1）+1（a≥2），…（14分）
有：，故． …（16分）
分析：（1）利用絕對值的幾何意義，將函數寫出分段函數，即可得到函數f（x）的單調區間；
（2）根據a＞-2，分類討論，確定函數的最小值，利用函數f（x）的最小值為2，可求a的值；
（3）利用（2）的結論，問題等價于a-1≥ab²（a≥2）恒成立，構造以a為參數的函數，即可求得結論．
點評：本題考查分段函數，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．