Question

已知函數f(x)=2sin2(

π

4

-x)-2

3

cos2x+

3

（I）求f（x）最小正周期和單調遞減區間；
（II）若f(x)＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（I）∵函數f(x)=2sin2(

π

4

-x)-2

3

cos2x+

3

∴f(x)=1-cos(

π

2

-2x)-

3

cos2x=1-sin2x-

3

cos2x=-2sin(2x+

π

3

)+1
∴T=

2π

2

=π
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，
即-

5

12

π+kπ≤x≤

π

12

+kπ，
故f（x）的遞減區間：[-

5

12

π+kπ，

π

12

+kπ](k∈z)…（6分）
（II）由f(x)＜m+2在x∈[0，

π

6

]上恒成立，
得f（x）_max＜m+2，x∈[0，

π

6

]
由0≤x≤

π

6

，有

π

3

≤2x+

π

3

≤

2

3

π，
則

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
故-1≤f(x)≤1-

3

，
則m+2＞1-

3

，
即m＞-1-

3

，