Question

△ABC中
（1）已知2B=A+C，b=1，求a+c的范圍
（2）已知2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，且sinB+sinC=1，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）由三角形內角和定理，以及2B=A+C，求出B的度數，由b的值，利用正弦定理求出R，原式利用正弦定理化簡，用A表示出C，再利用和差化積公式變形為一個角的余弦函數，根據A的范圍求出這個角的范圍，利用余弦函數的值域確定出范圍即可；
（2）已知等式利用正弦定理化簡，整理后得到關系式，代入由余弦定理表示出cosA中求出值，進而確定出A的度數，再由B表示出C，代入sinB+sinC=1中求出B的度數，即可確定出三角形的形狀．

解答：解：（1）∵△ABC中，2B=A+C，
∴A+B+C=π，即B=

π

3

，
∵b=1，∴由正弦定理得：2R=

b

sinB

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∵A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
∴a+c=2RsinA+2RsinC=2R（sinA+sinC）=

4 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]=

4 3

3

2sin

π

3

cos（A-

π

3

）=4cos（A-

π

3

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

3

＜A-

π

3

＜

π

3

，
∴

1

2

＜cos（A-

π

3

）＜1，即2＜4cos（A-

π

3

）＜4，
則a+c的范圍是（2，4）；
（2）已知等式利用正弦定理化簡得：2a²=b（2b+c）+c（2c+b），即b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

-bc

2bc

=-

1

2

，
∵A為三角形內角，∴A=120°，即B+C=60°，
∴sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=2sin30°cos（B-30°）=cos（B-30°）=1，
∴B-30°=0，即B=30°，
則△ABC為等腰三角形．

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有：正弦、余弦定理，以及兩角和與差的正弦、余弦函數公式，熟練掌握定理是解本題的關鍵．