Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，點（1，）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，且△AF₂B的面積為，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設出橢圓的方程，根據題設中的焦距求得c和焦點坐標，根據點（1，）到兩焦點的距離求得a，進而根據b=求得b，得到橢圓的方程．
（Ⅱ）先看當直線l⊥x軸，求得A，B點的坐標進而求得△AF₂B的面積與題意不符故排除，進而可設直線l的方程為：y=k（x+1）與橢圓方程聯立消y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據韋達定理可求得x₁+x₂和x₁•x₂，進而根據表示出|AB|的距離和圓的半徑，求得k，最后求得圓的半徑，得到圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，由題意可得：
橢圓C兩焦點坐標分別為F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴．
∴a=2，又c=1，b²=4-1=3，
故橢圓的方程為．
（Ⅱ）當直線l⊥x軸，計算得到：
，，不符合題意．
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：y=k（x+1），
由，消去y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
顯然△＞0成立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
又
即，
又圓F₂的半徑，
所以，
化簡，得17k⁴+k²-18=0，
即（k²-1）（17k²+18）=0，解得k=±1
所以，，
故圓F₂的方程為：（x-1）²+y²=2．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線，橢圓與圓的關系．考查了學生綜合運用所學知識，創造性地解決問題的能力．