Question

已知函數f（x）=ax²-2x，g（x）=-，（a，b∈R）
（Ⅰ）當b=0時，若f（x）在[2，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求滿足下列條件的所有實數對（a，b）：當a是整數時，存在x，使得f（x）是f（x）的最大值，g（x）是g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當b=0時，f（x）=ax²-4x，討論a的取值，結合二次函數的單調性建立a的不等關系即可；
（Ⅱ）討論a為0時不可能，要使f（x）有最大值，必須滿足，求出此時的x=x，根據g（x）取最小值時，x=x=a，建立等量關系，結合a是整數，求出a和b的值．
解答：解：（Ⅰ）當b=0時，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，則f（x）在[2，+∞）上單調遞減，不符題意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上單調遞增，必須滿足，
∴a≥1．
（Ⅱ）若a=0，，則f（x）無最大值，故a≠0，
∴f（x）為二次函數，
要使f（x）有最大值，必須滿足，即a＜0且，
此時，時，f（x）有最大值．
又g（x）取最小值時，x=x=a，
依題意，有，
則，
∵a＜0且，
∴，得a=-1，此時b=-1或b=3．
∴滿足條件的實數對（a，b）是（-1，-1），（-1，3）．
點評：本題主要考查了函數單調性的應用，以及函數的最值及其幾何意義，屬于基礎題．