Question

設函數f（x）=ln（x+1）
（1）若x＞0證明：f(x)＞

2x

x+2

．
（2）若不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-2bm-3對于x∈[-1，1]及b∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把不等式一邊的式子移項，構造新函數，對新函數求導，根據導函數與0的關系，得到函數是一個增函數，而函數的最小值大于0的函數值，得到結論．
（2）整理函數，把含有變量x的式子整理到不等號的一側，把含有x的代數式寫成新函數，最新函數求導進而求出最大值，使得不等式的另一側的代數式大于最大值，得到關于m的一元二次不等式，得到結果．

解答：解：（1）令g(x)=f(x)-

2x

x+2

=ln(x+1)-

2x

x+2

，
則g′(x)=

1

x+1

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

．
∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函數．
故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞

2x

x+2

．
（2）原不等式等價于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2bm-3．
令h(x)=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，則h′(x)=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

．
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴當x∈[-1，1]時，h（x）_max=0，∴m²-2bm-3≥0．
令Q（b）=-2mb+m²-3，則

Q(1)=m2-2m-3≥0 Q(-1)=m2+2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．

點評：本題考查函數的導數和函數思想的應用，本題解題的關鍵是構造新函數，對于新函數進行求導求最值，再利用函數的思想來解題，這種題目可以出現在高考卷中．