Question

（2011•奉賢區二模）（理）已知函數f(x)=

.

sinx cosx -sinα cosα

.

，g(x)=

.

cosx sinx sinβ cosβ

.

，α，β是參數，x∈R，α∈(-

π

2

，

π

2

)，β∈(-

π

2

，

π

2

)
（1）若α=

π

4

，β=

π

4

，判別h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性；
若α=-

π

4

，β=

π

4

，判別h（x）=f²（x）+g²（x）的奇偶性；
（2）若α=

π

3

，t（x）=f（x）g（x）是偶函數，求β；
（3）請你仿照問題（1）（2）提一個問題（3），使得所提問題或是（1）的推廣或是問題（2）的推廣，問題（1）或（2）是問題（3）的特例．（不必證明命題）
將根據寫出真命題所體現的思維層次和對問題探究的完整性，給予不同的評分．

Answer 1

分析：（1）根據二階行列式的運算分別求得函數f（x）、g（x），分別求出α=

π

4

，β=

π

4

，（x）=f（x）+g（x）和α=-

π

4

，β=

π

4

，h（x）=f²（x）+g²（x）的解析式，即可判定其奇偶性；
（2）α=

π

3

，求出t（x）=f（x）g（x）的解析式，法一：利用積化和差公式，把t(x)=sin(x+

π

3

)•cos(x+β)化簡為t(x)=

1

2

[sin(2x+β+

π

3

)+sin(

π

3

-β)]，根據函數為偶函數，即可求得β的值；法2：利用偶函數的定義，可以直接求出β的值；法3：特殊值法，根據函數是偶函數，可得到t(

π

3

)=t(-

π

3

)，解此方程即可求得β的值；
（3）根據問題（1）（2）即可以寫出以下結果：寫出任何一種的一個（加法或乘法）均可以．

解答：（理）解：（1）f（x）=sinx-cosα+cosx-cosα，g（x）=cosx•cosα-sinx•sinα
f（x）=sin（x+α），g（x）=cos（x+β）
h(x)=sin(x+

π

4

)+cos(x+

π

4

)=

2

sin(x+

π

2

)=

2

cosx
所以h（x）是偶函數                                                  
h(x)=sin2(x-

π

4

)+cos2(x+

π

4

)=

1-cos(2x- π 2 )

2

+

1+cos(2x+ π 2 )

2

=

1-sin2x+1-sin2x

2

=1-sin2x
所以h（x）是非奇非偶函數       
（2）方法一（積化和差）：t（x）=f（x）•g（x）為偶函數，
t(x)=sin(x+

π

3

)•cos(x+β)=

1

2

[sin(2x+β+

π

3

)+sin(

π

3

-β)]
t（x）=f（x）•g（x）為偶函數，所以sin(2x+β+

π

3

)是偶函數，
β+

π

3

=kπ+

π

2

，β∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴β=

π

6

方法二（定義法）：t（x）=f（x）•g（x）為偶函數
所以t(x)=t(-x)，sin(x+

π

3

)cos(x+β)=sin(-x+

π

3

)cos(-x+β)
展開整理sinx•cosx•(cosβ-

3

sinβ)=0對一切x∈R恒成立           
tanβ=

3

3

，β∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴β=

π

6

方法三（特殊值法）：t（x）=f（x）•g（x）為偶函數
所以t(x)=t(-x)，sin(x+

π

3

)cos(x+β)=sin(-x+

π

3

)cos(-x+β)
∴t(

π

3

)=t(-

π

3

)，
所以sin(

π

3

+

π

3

)cos(

π

3

+β)=sin(-

π

3

+

π

3

)cos(-

π

3

+β)=0
cos(

π

3

+β)=0，β∈(-

π

2

，

π

2

)，
∴β=

π

6

（3）第一層次，寫出任何一種的一個（加法或乘法）均可以，
1、α+β=

π

2

，f（x）+g（x）是偶函數；           2、α+β=-

π

2

，f（x）+g（x）是奇函數；
3、α-β=

π

2

，f（x）+g（x）是非奇非偶函數；      4、α-β=-

π

2

，f（x）+g（x）既奇又偶函數
第二層次，寫出任何一種的一個（加法或乘法）均可以，
1、α+β=

π

2

，f³（x）+g³（x）是偶函數；（數字不分奇偶）  
2、α+β=-

π

2

，f⁵（x）+g⁵（x）是奇函數α+β=-

π

2

，f⁴（x）+g⁴（x）是偶函數（數字只能同奇數）
3、α-β=

π

2

，f⁵（x）+g⁵（x）是非奇非偶函數（數字不分奇偶，但求相同）
4、α-β=-

π

2

，f³（x）+g³（x）是既奇又偶函數   （數字只能奇數）
α-β=-

π

2

，f²（x）+g²（x）是非奇非偶函數
第三層次，寫出逆命題任何一種的一個（加法或乘法）均可以，
1、f³（x）+g³（x）是偶函數（數字不分奇偶，但相同），則α+β=

π

2

2、f⁵（x）+g⁵（x）是奇函數（數字只能正奇數），則α+β=-

π

2

f²（x）+g²（x）是偶函數（數字只能正偶數），則α+β=-

π

2

3、f³（x）+g³（x）是偶函數 （數字只能正奇數），則α-β=-

π

2

第四層次，寫出充要條件中的任何一種均可以，（16分）
1、α+β=

π

2

的充要條件是f（x）+g（x）是偶函數
2、f⁵（x）+g⁵（x）是奇函數（數字只能正奇數）的充要條件是α+β=-

π

2

f²（x）+g²（x）是偶函數（數字只能正偶數）的充要條件是α+β=-

π

2

3、f³（x）+g³（x）是偶函數 （數字只能正奇數）的充要條件是α-β=-

π

2

第五層，寫出任何一種均可以（逆命題，充要條件等均可以，限于篇幅省略）
1、α+β=

π

2

，n∈N^*時，fⁿ（x）+gⁿ（x）都是偶函數
2、α+β=-

π

2

，n∈N^*時，n是正奇數，fⁿ（x）+gⁿ（x）是奇函數
α+β=-

π

2

，n∈N^*時，n是正偶數，fⁿ（x）+gⁿ（x）是偶函數
3、α-β=-

π

2

，n∈N^*時，n奇數，fⁿ（x）+gⁿ（x）是既奇又偶函數
4、α-β=-

π

2

，n∈N^*時，n偶數，fⁿ（x）+gⁿ（x）是非奇非偶函數

點評：本題考查函數的奇偶性的判定，題目設置新穎，特別是問題（3）的設置，側重與對于知識的靈活應用，分析、歸納、總結能力的考查，屬中檔題．