Question

設{a_n}和{b_n}都是公差不為零的等差數列，且

lim

n→∞

an

bn

=2，則

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

的值為

1

8

．

Answer 1

分析：設{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，有條件可得d₁=2d₂，根據等差數列的通項公式及前n項和公式化簡要求的式子
并把d₁=2d₂代入，再利用數列極限的運算法則求出結果．

解答：解：設{a_n}和{b_n}的公差分別為d₁ 和d₂，
∵

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

=2，∴d₁=2d₂．

lim

n→∞

b1+b2+…+bn

na2n

=

lim

n→∞

nb1+ n(n-1) 2 d2

n[a1+(2n-1)d1 ]

=

d2 2

2×d1

=

d2

4d1

=

1

8

，
故答案為：

1

8

．

點評：本題主要考查等差數列的通項公式，前n項和公式，求數列的極限的方法，得到d₁=2d₂，是解題的關鍵．