Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過A（2，0）和B（1，

3

2

）兩點，O為坐標原點．
（I ）求橢圓C的方程；
（II）若以點O為端點的兩條射線與橢圓c分別相交于點M，N且

MN

丄

ON

，證明：點O到直線MN的距離為定值．

Answer 1

（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經過A（2，0）和B（1，

3

2

）兩點，
∴

a=2 1 a2 + 9 4b2 =1

，
∴a=2，b=

3

∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）證明：①當直線MN的斜率不存在時，其方程為x=±

2 21

7

，則點O到直線MN的距離為

2 21

7

；
②當直線MN的斜率存在時，其方程為y=kx+m，設M，N兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
將y=kx+m代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，則x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

令△＞0，解得m²＜4k²+3，
∵

MN

丄

ON

，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•

4m2-12

3+4k2

-km•

8km

3+4k2

+m²=0，
∴m2=

12(k2+1)

7

＜4k²+3
∴點O到直線MN的距離為d=

|m|

1+k2

=

2 21

7

，
由①②可得點O到直線MN的距離為定值

2 21

7

．