Question

已知等比數列{a_n}共有m項 （ m≥3 ），且各項均為正數，a₁=1，a₁+a₂+a₃=7．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）若數列{b_n}是等差數列，且b₁=a₁，b_m=a_m，判斷數列{a_n}前m項的和S_m與數列{bn-

1

2

}的前m項和T_m的大小并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據所給的數列首項和前三項之和，整理出關于公比q的一元二次方程，解方程得到兩個解，舍去負解，寫出數列的通項．
（2）由a_n=2^n-1得S m=2m-1，數列{b_n}是等差數列，b₁=a₁=1，b_m=a_m=2^m-1，而T_m=（b₁-

1

2

）+（b₂-

1

2

）+（b₃-

1

2

）+…+（b_m-

1

2

）=（b₁+b₂+b₃+…+b_m）-

m

2

=

1+2m-1

2

m-

m

2

=

2m-1

2

m=m•2^m-2，利用T_m-S_m=m•2^m-2-（2^m-1）=（m-4）2^m-2+1，即可得到結論．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，則1+q+q²=7，
∴q=2或q=-3
∵{a_n}的各項均為正數，∴q=2                             
所以a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1得S m=2m-1
數列{b_n}是等差數列，b₁=a₁=1，b_m=a_m=2^m-1，
而T_m=（b₁-

1

2

）+（b₂-

1

2

）+（b₃-

1

2

）+…+（b_m-

1

2

）=（b₁+b₂+b₃+…+b_m）-

m

2

=

1+2m-1

2

m-

m

2

=

2m-1

2

m=m•2^m-2
∵T_m-S_m=m•2^m-2-（2^m-1）=（m-4）2^m-2+1
∴當m=3時，T₃-S₃=-1，∴T₃＜S₃．
∴當m≥4時，T_m＞S_m

點評：本題考查等比數列的通項公式，考查數列的求和，同時考查作差法，大小比較，解題的關鍵是數列中基本量的運算，屬于中檔題．