Question

20．若函數f（x）滿足：對于其定義域D內的任何一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，則稱函數f（x）在D上封閉．
（1）若下列函數的定義域為D=（0，1），試判斷其中哪些在D上封閉，并說明理由．f₁（x）=2x-1，f₂（x）=2^x-1．
（2）若函數g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$的定義域為（1，2），是否存在實數a，使得g（x）在其定義域（1，2）上封閉？若存在，求出所有a的值，并給出證明：若不存在，請說明理由．
（3）已知函數f（x）在其定義域D上封閉，且單調遞增．若x₀∈D且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）根據定義域，求得函數的定義域，利用新定義，即可得到結論；
（2）分類討論，確定函數的單調性，建立不等式組，可求a的值．
（3）函數f（x）在其定義域D上封閉，且單調遞增，根據單調函數性質f（x₀）∈D，則有唯一的x₀∈D，由此能證明f（x₀）=x₀．

解答 解：（1）在f₁（x）=2x-1中，對于定義域D內的任意一個自變量x₀，
都有函數值f₁（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函數f₁（x）=2x-1在D₁上不封閉；
在f₂（x）=2^x-1中，2^x-1∈（0，1），在D₁上封閉．
（2）g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$的定義域為（1，2），對稱中心為（-2，5），
當a+10＞0時，函數g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$在D₂上為增函數，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥1}\\{f（2）≤2}\\{a＞-10}\end{array}\right.$，解得a=2
當a+10＜0時，函數g（x）=$\frac{5x-a}{x+2}$在D₂上為減函數，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≤2}\\{f（2）≥1}\\{a＜-10}\end{array}\right.$，解得a∈∅
綜上，所求a的值等于2．
證明：（3）∵函數f（x）在其定義域D上封閉，且單調遞增．
x₀∈D且f（f（x₀））=x₀，
∴根據單調函數性質f（x₀）∈D，則有唯一的x₀∈D，
∴f（x₀）=x₀．

點評 本題以新定義函數為載體，考查新定義，考查學生的計算能力，關鍵是對新定義的理解，有一定的難度．