Question

已知函數f（x）=sinxcosx-

3

2

cos2x，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期和對稱軸方程；
（2）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式為 sin（2x-），由此求得函數的最小正周期．
利用正弦函數的對稱軸方程，解得x的值，即可求得f（x）函數圖象的對稱軸方程．
（2）求出函數的單調增區間，通過x的范圍，求得f（x）的單調增區間．

解答：解：（1）f（x）=sinxcosx-

3

2

cos2x=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

）． …（3分）
 f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π…（5分）
令 2x-

π

3

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z．
∴f（x）函數圖象的對稱軸方程是x=

kπ

2

+

5π

12

，k∈Z．…（9分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，求得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以，f（x）的單調增區間為[-

π

12

，

5π

12

]．…（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，求三角函數的對稱軸、單調區間，屬于中檔題．