Question

證明1²－2²＋3²－4²＋…＋(2n－1)²－(2n)²＝－n(2n＋1)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3 　　右邊＝－1×(2×1＋1)＝－3，∴左邊＝右邊，等式成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立． 　　則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2＋[2(k＋1)]2 　　＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2 　　＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3) 　　＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]＝右邊， 　　∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 　　由(1)(2)可知對(duì)于任意正整數(shù)n，等式都成立． 　　思路分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)要注意等式兩邊的項(xiàng)數(shù)隨n怎樣變化，即由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左右兩邊各增添哪些項(xiàng)．

提示：

可用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明關(guān)于自然數(shù)n的恒等式，證明時(shí)兩步缺一不可，第一步必須驗(yàn)證，證明n＝k＋1時(shí)，必須用假設(shè)n＝k成立的結(jié)論證明．