Question

【題目】如圖，幾何體中， 平面， 是正方形， 為直角梯形， ， ， 的腰長為的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（I）證明過程見解析；（Ⅱ）二面角的大小為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明，然后證明平面，推出平面，利用直線與平面垂直的性質定理證明；（Ⅱ）建立空間立體直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，求出法向量之間的夾角即可求出二面角的大小．

試題解析：

（I）證明：因為是腰長為的等腰直角三角形，所以.

因為平面，所以.

又，所以.

又，所以平面.

所以.

（Ⅱ）解：以點為原點， 分別為軸建立如下圖

所示的空間直角坐標系：

因為是腰長為的等腰直角三角形，

所以， .

所以,

.

所以.

則點.

則.

設平面的法向量為，則

由得得得

令，得是平面的一個法向量；

易知平面的一個法向量；

設二面角的大小為，則，

又，解得.

故二面角的大小為.