Question

在實數集R中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數排了一個“序”，類似地，我們在復數集C上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“?”．定義如下：對于任意兩個復數z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i（a₁，b₁，a₂，b₂∈R，i為虛數單位），“z₁?z₂”當且僅當“a₁＞a₂”或“a₁=a₂且b₁＞b₂”．
下面命題：
①1?i?0；
②若z₁?z₂，z₂?z₃，則z₁?z₃；
③若z₁?z₂，則對于任意z∈C，z₁+z?z₂+z；
④對于復數z?0，若z₁?z₂，則z•z₁?z•z₂．
其中真命題是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：利用復數的新定義大小關系即可得出．

解答：解：①．∵1=1+0•i，i=0+1•i，∵實部1＞0，∴1?i．
又0=0+0•i，∵實部0=0，虛部1＞0，∴i?0，∴1?i?0，所以①正確．
②設z_k=a_k+b_ki，k=1，2，3，a_k，b_k∈R．∵z₁?z₂，z₂?z₃，∴a₁≥a₂，a₂≥a₃，∴a₁≥a₃．
則當a₁＞a₃時，可得z₁?z₃；當a₁=a₃時，有b₁＞b₂＞b₃，可得z₁?z₃，∴②正確；
③令z=a+bi（a，b∈R），∵z₁?z₂，∴a₁≥a₂，∴a₁+a≥a₂+a，
當a₁=a₂時，b₁＞b₂，故a₁+a=a₂+a，b₁+b＞b₂+b，可得z₁+z?z₂+z；
當a₁＞a₂時，a₁+a＞a₂+a，可得z₁+z?z₂+z；∴③正確；
④取z=0+i＞0，z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i，（a_k，b_k∈R，k=1，2），
不妨令a₁=a₂，b₁＞b₂，則z₁?z₂，此時z•z₁=-b₁+a₁i，z•z₂=-b₂+a₂i，不滿足z•z₁?z•z₂．故④不正確．
由以上可知：只有①②③正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了對復數的新定義大小關系的理解和應用，屬于難題．