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(2012•黃浦區二模)已知函數y=f(x)是定義域為R的偶函數,且對x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x).又當x∈[0,1]時,f(x)=x.
(1)當x∈[-1,0]時,求f(x)的解析式;
(2)求證:函數y=f(x)(x∈R)是以T=2為周期的周期函數;
(3)解答本小題考生只需從下列三個問題中選擇一個寫出結論即可(無需寫解題步驟).注意:考生若選擇多于一個問題解答,則按分數最低一個問題的解答正確與否給分.
①當x∈[2n-1,2n](n∈Z)時,求f(x)的解析式.
②當x∈[2n-1,2n+1](其中n是給定的正整數)時,若函數y=f(x)的圖象與函數y=kx的圖象有且僅有兩個公共點,求實數k的取值范圍.
③當x∈[0,2n](n是給定的正整數且n≥3)時,求f(x)的解析式.
分析:(1)由y=f(x)是R上的偶函數,且x∈[0,1]時,f(x)=x,由此能求出當x∈[-1,0]時,f(x)的解析式.
(2)對于x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x),故f(2+x)=f(-x).由y=f(x)是偶函數,能夠證明函數y=f(x)(x∈R)是以T=2為周期的周期函數.
(3)利用(1)的結論,結合偶函數的性質進行求解.
解答:(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分(5分),第2小題滿分(5分),第3小題最多(8分).
解(1)∵y=f(x)是R上的偶函數,且x∈[0,1]時,f(x)=x,
又當x∈[-1,0]時,-x∈[0,1],有f(-x)=-x.
∴f(x)=-x(-1≤x≤0).                                (5分)
(2)證明∵對于x∈R,恒有f(1+x)=f(1-x),
∴f(2+x)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x)),即f(2+x)=f(-x).           (7分)
又∵y=f(x)是偶函數,
∴f(2+x)=f(x),即y=f(x)是周期函數,且T=2就是它的一個周期.    (10分)
(3)依據選擇解答的問題評分
①f(x)=2n-x(x∈[2n-1,2n]).                      (14分)
0<k≤
1
2n+1
.                                                         (16分)
f(x)=
x(x∈[0,1))
2-x(x∈[1,2))
x-2(x∈[2,3))
?
x-(2n-2)(x∈[2n-2.2n-1))
2n-x(x∈[2n-1,2n]).
(18分)
點評:本題考查函數解析式的求法,考查周期函數的證明,解題時要認真審題,仔細解答,注意函數性質的靈活運用.
練習冊系列答案
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(2012•黃浦區二模)已知α、β∈(0,
π
2
),若cos(α+β)=
5
13
,sin(α-β)=-
4
5
,則cos2α=
63
65
63
65

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(2012•黃浦區二模)對n∈N*,定義函數fn(x)=-(x-n)2+n,n-1≤x≤n.
(1)求證:y=fn(x)圖象的右端點與y=fn+1(x)圖象的左端點重合;并回答這些端點在哪條直線上.
(2)若直線y=knx與函數fn(x)=-(x-n)2+n,n-1≤x≤n(n≥2,n∈N*)的圖象有且僅有一個公共點,試將kn表示成n的函數.
(3)對n∈N*,n≥2,在區間[0,n]上定義函數y=f(x),使得當m-1≤x≤m(n∈N*,且m=1,2,…,n)時,f(x)=fm(x).試研究關于x的方程f(x)=fn(x)(0≤x≤n,n∈N*)的實數解的個數(這里的kn是(2)中的kn),并證明你的結論.

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(2012•黃浦區二模)如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為
2
2

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(2012•黃浦區二模)已知函數f(x)=|x2-2ax+a|(x∈R),給出下列四個命題:
①當且僅當a=0時,f(x)是偶函數;
②函數f(x)一定存在零點;
③函數在區間(-∞,a]上單調遞減;
④當0<a<1時,函數f(x)的最小值為a-a2
那么所有真命題的序號是
①④
①④

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(2012•黃浦區二模)函數f(x)=log
1
2
(2x+1)
的定義域為
(-
1
2
,+∞)
(-
1
2
,+∞)

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