Question

（2012•黃浦區二模）已知函數y=f（x）是定義域為R的偶函數，且對x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x）．又當x∈[0，1]時，f（x）=x．
（1）當x∈[-1，0]時，求f（x）的解析式；
（2）求證：函數y=f（x）（x∈R）是以T=2為周期的周期函數；
（3）解答本小題考生只需從下列三個問題中選擇一個寫出結論即可（無需寫解題步驟）．注意：考生若選擇多于一個問題解答，則按分數最低一個問題的解答正確與否給分．
①當x∈[2n-1，2n]（n∈Z）時，求f（x）的解析式．
②當x∈[2n-1，2n+1]（其中n是給定的正整數）時，若函數y=f（x）的圖象與函數y=kx的圖象有且僅有兩個公共點，求實數k的取值范圍．
③當x∈[0，2n]（n是給定的正整數且n≥3）時，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由y=f（x）是R上的偶函數，且x∈[0，1]時，f（x）=x，由此能求出當x∈[-1，0]時，f（x）的解析式．
（2）對于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），故f（2+x）=f（-x）．由y=f（x）是偶函數，能夠證明函數y=f（x）（x∈R）是以T=2為周期的周期函數．
（3）利用（1）的結論，結合偶函數的性質進行求解．

解答：（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分（5分），第2小題滿分（5分），第3小題最多（8分）．
解（1）∵y=f（x）是R上的偶函數，且x∈[0，1]時，f（x）=x，
又當x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]，有f（-x）=-x．
∴f（x）=-x（-1≤x≤0）．    　　　　　　　　　　　　　        　　　　   （5分）
（2）證明∵對于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），
∴f（2+x）=f（1+（1+x））=f（1-（1+x）），即f（2+x）=f（-x）．     　　　　　　（7分）
又∵y=f（x）是偶函數，
∴f（2+x）=f（x），即y=f（x）是周期函數，且T=2就是它的一個周期．  　　（10分）
（3）依據選擇解答的問題評分
①f（x）=2n-x（x∈[2n-1，2n]）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （14分）
②0＜k≤

1

2n+1

．                                                         （16分）
③f(x)=

x(x∈[0，1)) 2-x(x∈[1，2)) x-2(x∈[2，3)) ? x-(2n-2)(x∈[2n-2.2n-1)) 2n-x(x∈[2n-1，2n]).

（18分）

點評：本題考查函數解析式的求法，考查周期函數的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數性質的靈活運用．