Question

已知公差d為正數的等差數列{a_n}和公比為q（q＞1）的等比數列{b_n}．
（1）若a₁＞0，且對一切n∈N^*恒成立，求證：d≤a₁q-a₁；
（2）若d＞1，集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，求使不等式成立的自然數n恰有4個的正整數p的值．

Answer 1

解：（1）∵，∴，∵a_n＞0，
∴d≤a_n（q-1）對一切n∈N*恒成立．∴d≤a_n（q-1）的最小值，又d＞0，q＞1，
∴d≤a₁（q-1）．
（2）∵1，2，3，4，5這5個數中成等比且公比q＞1的三數只能為1，2，4
∴只能是b₃=1，b₄=2，b₅=4，a₃=1，a₄=3，a₅=5，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．
∵，∴，
∴，∴．∵p＞0，
∴n=1，2顯然成立
當n≥3時，∴，∴

∴
∴使不等式成立的自然數n恰有4個的正整數p值為3
分析：（1）由題設條件知，再由a_n＞0，知d≤a₁（q-1）．
（2）由題設條件知a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．再由，知，由此入手能夠推導出使不等式成立的自然數n恰有4個的正整數p值為3．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．