Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C： （m＞0）的離心率為 ，A，B分別為橢圓的左、右頂點，F是其右焦點，P是橢圓C上異于A、B的動點．

（1）求m的值及橢圓的準線方程；
（2）設過點B且與x軸的垂直的直線交AP于點D，當直線AP繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為橢圓的離心率為 ．所以 ，解得m=9．

所以橢圓的方程為

準線方程為

（2）解：由題可知A（﹣5，0），B（5，0），F（4，0），設P（x0，y0）．

由橢圓的對稱性，不妨設y0＞0

①若x0=4，則 ，PF方程為x=4，AP方程為 ，D（5，2）

以BD為直徑的圓的圓心（5，1），半徑為1與直線PF相切；

②若x0≠4，則AP方程為

令x=5，得 ，則

以BD為直徑的圓的圓心 ，半徑為

直線PF方程為 ，即y0x﹣（x0﹣4）y﹣4y0=0

圓心M到直線PF的距離

= ═ =

所以圓M與直線PF相切

綜上所述，當直線AP繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切

【解析】（1）根據題意由橢圓的離心率可求得m的值，進而得到橢圓的方程和準線方程。（2）討論直線的斜率存在或不存在，設P（x0，y0）即得①若x0=4，直線PF的斜率不存在，由已知可得以BD為直徑的圓的圓心（5，1），半徑為1與直線PF相切。②若x0≠4，根據直線與圓相切的位置關系得證圓M與直線PF相切，進而得到直線AP繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切。