Question

選修4-4：坐標系與參數方程
從極點O作射線，交直線ρcosθ=3于點M，P為射線OM上的點，且|OM|•|OP|=12，若有且只有一個點P在直線ρsinθ-ρcosθ=m，求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：設P（ρ，θ），由條件|OM|•|OP|=12，可求出點M的坐標，由于點M在直線ρ^′cosθ=3上，可將點M的坐標代入得出點P的極坐標方程，進而化為直角坐標系的方程，知道點P的軌跡是一個圓且去掉x軸上的兩點．因為有且只有一個點P在直線
ρsinθ-ρcosθ=m上，故直線與圓相切，或直線經過原點，據此可求實數m的值．
解答：解：設P（ρ，θ），則由|OM||OP|=12得|OM|=，∴，由于點M在直線ρ^′cosθ=3上，∴．
即ρ=4cosθ（ρ≠0）．
∴ρ²=4ρcosθ，化為平面直角坐標系的方程為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4（x≠0）．
直線ρsinθ-ρcosθ=m化為平面直角坐標系的方程為y-x-m=0，
因為有且只有一個點P在直線y-x-m=0上，所以y-x-m=0和（x-2）²+y²=4（x≠0）相切，
∴=2，解得m=-2±．
或直線l過原點時也滿足條件，此時m=0．
總上可知：m的取值是-2±，或0．
點評：本題考查了極坐標系下直線與圓的交點問題，將極坐標化為直角坐標系的方程是解決此問題常用的方法．