Question

【題目】從拋物線y2=32x上各點向x軸作垂線，其垂線段中點的軌跡為E．

（1）求軌跡E的方程；

（2）已知直線l：y=k（x-2）（k＞0）與軌跡E交于A，B兩點，且點F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）9

【解析】試題分析：（1）先設出垂線段的中點為M（x，y），P（x0，y0）是拋物線上的點，把它們坐標之間的關系找出來，代入拋物線的方程即可；
（2）根據拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義即條件，求出A，B的中點橫坐標，即可求出弦AB的長．

試題解析：

（1）設垂線段的中點M（x，y），P（x0，y0）是拋物線上的點，D（x0，0），因為M是PD的中點，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因為點P在拋物線上，所以y02=32x，即4y2=32x，所以y2=8x，所求點M軌跡方程為：y2=8x．

（2）拋物線y2=8x的焦點坐標為（2，0），準線方程為x=-2，設A（x1，y1），B（x2，y2），則

∵|AF|=2|BF|，∴x1+2=2（x2+2），∴x1=2x2+2∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=4，x2=1，

∴|AB|=x1+x2+p=9．