Question

(08年泉州一中適應性練習理)（12分）

在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=BC=2，∠ABC=90°，M為棱PC的中點.

(1)求證：點P，A，B，C四點在同一球面上；

(2)求二面角A－MB－C的大小；

(3)求過P、A、B、C四點的球面中，A、B兩點的球面距離.

Answer 1

(1)證明：由已知條件Rt中PM=MC，則MP=MC=MA，

∵PA⊥平面ABC，AB是PB在平面ABC上的射影，∴PB⊥BC，AB⊥BC

則MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B，C四點都在以M為球心，半徑為PM的球面上，

(2)以AC為y軸，AP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，

則，，

設平面AMB的法向量為，∵，，

由得所以

同理設平面BMC的法向量為，則解得

所以. 故二面角的大小為120°.

(3)∵過P，A，B，C四點的球面的球心為M，半徑為，AB=2，

在中，，∴

故A，B兩點的球面距離為