Question

已知函數y＝f(x)的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且當x＞0時，f(x)＜0恒成立，f(3)＝－3．

(1)證明：函數y＝f(x)是R上的減函數；

(2)證明：函數y＝f(x)是奇函數；

(3)試求函數y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)＋f(x2－x1)． 　　∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0． 　　∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)＜f(x1)． 　　故f(x)是R上的減函數． 　　(2)證明：∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立， 　　∴可令a＝－b＝x， 　　則有f(x)＋f(－x)＝f(0)，又令a＝b＝0，則有f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0． 　　從而x∈R，f(x)＋f(－x)＝0， 　　∴f(－x)＝－f(x)．故y＝f(x)是奇函數． 　　(3)解：由于y＝f(x)是R上的單調遞減函數，∴y＝f(x)在[m，n]上也是減函數，故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，最小值f(x)min＝f(n)． 　　由于f(n)＝f[1＋(n－1)]＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，同理f(m)＝mf(1)． 　　又f(3)＝3f(1)＝－3，∴f(1)＝－1， 　　∴f(m)＝－m，f(n)＝－n． 　　因此函數y＝f(x)在[m，n]上的值域為[－n，－m]．

提示：

分析：(1)應根據函數的單調性定義進行論證，考慮證明過程中如何利用題設條件；(2)根據函數的奇偶性定義進行證明，只需證f(－x)＋f(x)＝0． 　　(3)可考慮運用(1)、(2)兩小題的結論． 　　解題心得：(1)運用單調性是求最值(或值域)常用方法之一．特別是對于抽象函數． 　　(2)滿是f(a＋b)＝f(a)＋f(b)的函數，只要定義域是關于原點對稱的，它就是奇函數(當然f(x)不恒為零，否則f(x)既是奇函數又是偶函數)． 同理可證明：若函數f(x)(x∈R，x≠0)恒有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，則f(x)為偶函數． 　　(3)若將題設條件中的x＞0時，都有f(x)＜0，改為f(x)＞0恒成立，則函數f(x)就是R上的單調增函數． 　　(4)解題中f(n)＝nf(1)(n∈Z)的嚴格證明，要用數學歸納法．