Question

已知函數f(x)＝x－ln(x＋a)在x＝1處取得極值．

(1)求實數a的值；

(2)若關于x的方程f(x)＋2x＝x²＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

(1)0　(2)＋ln2≤b<2

解析　(1)對f(x)求導，得f′(x)＝1－.

由題意，得f′(1)＝0，即1－＝0，∴a＝0.

(2)由(1)得f(x)＝x－lnx.

∴f(x)＋2x＝x²＋b，即x²－3x＋lnx＋b＝0.

設g(x)＝x²－3x＋lnx＋b(x>0)，則

g′(x)＝2x－3＋＝＝.

令g′(x)＝0，得x₁＝，x₂＝1.

當x變化時，g′(x)、g(x)的變化情況如下表：

x	(0，)		(，1)	1	(1,2)	2
g′(x)	＋	0	－	0	＋	＋
g(x)		極大值		極小值		b－2＋ln2

∴當x＝1時，g(x)的極小值為g(1)＝b－2.

又g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2.

∵方程f(x)＋2x＝x²＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根，

∴即解得＋ln2≤b<2.