Question

已知等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．
（I）求{a_n}的通項公式．
（II）令c_n=-log₃a_n，求數列{c_na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中2a1+3a2=1，a32=9a2a6．設等比數列公比為q，構造方程組，解得數列的首項和公比，代入等比數列通項公式，可得{a_n}的通項公式．
（II）由（I）中{a_n}的通項公式及c_n=-log₃a_n，求出數列數列{c_n}的通項公式，進而求出數列{c_na_n}的通項公式，利用錯位相減法，可得答案．

解答：解：（I）設等比數列公比為q，由題意，
解

2a1+3a1•q=1 (a1•q2)2=9a1•q•a1•q5

得

a1= 1 3 q= 1 3

…（4分）
故{a_n}的通項公式為an=(

1

3

)n…（6分）
（II）由（I）得：c_n=-log₃a_n=n，
∴{c_na_n}={n(

1

3

)n}…（7分）

Sn=( 1 3 )1+2( 1 3 )2+3( 1 3 )3+…+n( 1 3 )n 1 3 Sn=( 1 3 )2+2( 1 3 )3+…+(n-1)( 1 3 )n+n( 1 3 )n+1

相減得 

2

3

Sn=(

1

3

)+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-n(

1

3

)n+1…（9分）
=

1

3

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-n(

1

3

)n+1=

1-( 1 3 )n

2

-n(

1

3

)n+1
∴Sn=

3

4

[1-(

1

3

)n]-

3n

2

(

1

3

)n+1=

3

4

-

3+2n

4

(

1

3

)n…（12分）

點評：本題考查的知識點是等比數列的通項公式，數列求和，（I）的關鍵是構造方程組，求出首項和公比，（II）的關鍵是根據通項是等差數列與等比數列相乘的形式，而選用錯位相減法．